BAB IV
METODA TAKABEYA
4.1 PENDAHULUAN
Salah satu metoda yang sering digunakan dalam perhitungan konstruksi statis tak tentu, khususnya pada konstruksi portal yang cukup dikenal adalah perhitungan konstruksi dengan metoda TAKABEYA. Dibandingkan dengan metoda yang lain, seperti metoda Cross dan metoda Kani, untuk penggunaan metoda ini terutama pada struktur portal bertingkat banyak merupakan perhitungan yang paling sederhana dan lebih cepat serta lebih mudah untuk dipelajari dan dimengerti dalam waktu yang relatif singkat.
Metoda perhitungan dengan cara Takabeya yang disajikan dalam bagian ini adalah menyangkut materi perhitungan untuk portal dengan titik hubung yang tetap dan portal dengan titik hubung yang bergerak ( pergoyangan). Mengenai hal tersebut, teks ini hanya memberikan dasar-dasar pemahaman tentang metoda Takabeya yang berhubungan dengan portal-portal yang sederhana dengan atau tanpa mengalami suatu pergoyangan. Diharapkan dari dasar-dasar ini, kita sudah dapat menghitung besarnya gaya-gaya dalam berupa momen-momen ujung (momen akhir) dari suatu batang yang menyusun konstruksi portal yang bentuknya sederhana.
Persamaan - persamaan yang digunakan dalam metoda perhitungan ini hanya merupakan persamaan dasar dari Takabeya sendiri, dimana persamaan-persamaan tersebut hanya dapat digunakan khusus untuk portal yang sederhana dan hal-hal yang berhubungan dengan pergoyangan dalam satu arah saja yaitu pergoyangan dalam arah horizontal. Mengenai pergoyangan dalam dua arah ( harizontal dan vertikal) persamaan-persamaan dasar yang digunakan dalam teks ini masih perlu diturunkan lebih lanjut.
Untuk menganalisa struktur portal yang sederhana, bab ini memberikan contoh-contoh perhitungan yang sudah disesuaikan dengan langkah-langkah perhitungan yang sesuai dengan prosedur perhitungan dalam metoda Takabeya. Perhitungan-perhitungan yang dimaksudkan di sini adalah hanya sampai pada bagaimana menentukan momen-momen ujung ( momen akhir ) dari suatu konstruksi. Mengenai reaksi perletakan tumpuan dan atau gaya-gaya lintang dan normal yang terjadi dalam suatu penampang batang serta penggambaran diagram dari gaya-gaya dalam tersebut, sudah dibahas dalam materi perkuliahan pada Mekanika Rekayasa I dan Mekanika Rekayasa II semester sebelumnya.
PERSAMAAN DASAR METODA TAKABEYA
Dalam perhitungan konstruksi portal dengan metoda Takabeya, didasarkan pada asumsi-asumsi Bahwa :
a. Deformasi akibat gaya aksial (Tarik dan Tekan) dan gaya geser dalam diabaikan (= 0 ).
b. Hubungan antara balok-balok dan kolom pada satu titik kumpul adalah kaku sempurna.
Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka pada titik kumpul akan terjadi perputaran dan pergeseran sudut pada masing-masing batang yang bertemu yang besarannya sebanding dengan momen-momen lentur dari masing-masing ujung batang tersebut. Gambar 4.1 berikut ini, memperlihatkan dimana ujung batang (titik b) pada batang ab bergeser sejauh '' relatif terhadap titik a. Besarnya momen-momen akhir pada kedua ujung batang ( M ab dan M ba) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari perputaran dan pergeseran sudut.
Gambar 4.1
Kemudian keadaan pada gambar 4.1 tersebut, selanjutnya diuraikan menjadi dua keadaan seperti terlihat pada gambar 4.2 di bawah ini :
Gambar 4.2
Sehingga menghasilkan suatu persamaan :
M ab = m ab + ab
M ba = m ba + ba
Dari prinsip persamaan Slope Deplection secara umum telah diketahui bahwa :
a = a + ab
b = b + ab dan
a = - + ab x 2
b = - + ab x 1
2a + 2b + 3ab
Sehingga :
m ab = 2 EI/L ( 2a + b - 3ab )
m ba = 2 EI/L ( 2b + a - 3ab )
Jika I/L = K untuk batang ab, maka :
m ab = 2 E Kab ( 2a + b - 3ab )
m ba = 2 E Kab ( 2b + a - 3ab )
Masukkan Persamaan 4. 2 ke dalam persamaan 4. 1 , diperoleh :
M ab = 2 E Kab ( 2a + b - 3ab ) +
M ba = 2 E Kab ( 2b + a - 3ab ) +
Oleh Takabeya, dari persamaan slope deplection ini disederhanakan menjadi :
M ab = kab (2ma + mb + ) +
M ba = kba (2mb + ma + ) +
Dimana :
ma = 2EKa = -6 EK ab
mb = 2EKb kab = Kab/K
Keterangan :
M ab, M ba = Momen akhir batang ab dan batang ba (ton m).
ab, ba = Momen Primer batang ab dan batang ba (ton m).
mab, mba = Koreksi momen akibat adanya pergeseran pada titik b sejauh
a, b = Putaran sudut pada titik a dan titik b
kab = Angka kekakuan batang ab = K ab / K (m3)
kab = Faktor kekauan batang ab = I/L (m3)
K = Konstanta
ma, mb = Momen parsiil masing-masing titik a dan b akibat putaran sudut a dan b disebut momen rotasi di titik a dan titik b (ton m).
ab = Momen parsiil akibat pergeseran titik b relatif terhadap titik a sejauh disebut momen dispalcement dari batang ab (ton m ).
Perjanjian Tanda
Momen ditinjau terhadap ujung batang dinyatakan positif ( + ) apabila berputar ke kanan dan sebaliknya negatif (- ) apabila berputar ke kiri
Arah momen selalu dimisalkan berputar ke kanan pada tiap-tiap ujung batang dari masing-masing free body. Apabila ternyata pada keadaan yang sebenarnya berlawanan (berputar ke kiri), diberikan tanda negatif ( - ) sesuai dengan perjanjian tanda.
4. 2 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG TETAP
Yang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang tetap adalah suatu portal dimana pada tiap-tiap titik kumpulnya ( titik hubungnya ) hanya terjadi perputaran sudut, tanpa mengalami pergeseran titik kumpul. Sebagai contoh :
• Portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris
• Portal dimana baik pada struktur balok maupun kolom-kolomnya disokong oleh suatu perletakan.
Oleh karena portal dengan titik hubung yang tetap tidak terjadi pergeseran pada titik-titik hubungnya, maka besarnya nilai momen parsiil akibat pergeseran titik ( ) adalah = 0. Sehingga rumus dasar dari Takabeya (persamaan 4.4 ) akan menjadi :
M ab = kab (2ma + mb) + ab
M ba = kba (2mb + ma) + ba
Sebagai contoh, penerapan persamaan untuk Takabeya, perhatikan gambar berikut ini :
Berdasarkan rumus dasar dari Takabeya, maka untuk struktur di atas, diperoleh persamaan :
M 12 = k 12 (2ml + m2) + 12
M 1A = k 1A (2m1 + mA) + 1A
M 1C = k 1C (2ml + mC) + 1C
M 1E = k 1E (2m1 + mE) + 1E
Keseimbangan di titik 1 = 0 == M1 = 0, sehingga :
M12 + M1A + M1C + M1E = 0 Persamaan 4. 7
Dari persamaan 4.6 dan persamaan 4.7 menghasilkan :
2m1 + + = 0 Pers. 4.8
dimana :
2 = 1 dan = 1 dan
Persamaan 4. 8 di atas dpt ditulis sebagai pers. momen rotasi pada titik kumpul 1 persamaan 4.6 dan persamaan 4.7 menghasilkan :
1.m1 = - 1 +
m1 = - (1/1) + Persamaan 4.9
Untuk persamaan momen rotasi pada titik kumpul yang lainnya dapat dicari/ ditentukan seperti pada persamaan 4.9 di atas, dimana indeks/angka pertama diganti dengan titik kumpul yang akan dicari dan angka kedua diganti dengan titik kumpul yang berada di seberangnya. Perlu diingat, bahwa pada suatu perletakan jepit tidak terjadi putaran sudut sehingga besarnya mA = mB = mC = mD = mE = mF = 0
Untuk langkah awal pada suatu perhitungan momen rotasi titik kumpul, maka titik kumpul yang lain yang berseberangan dengan titik kumpul yang dihitung, dianggap belum terjadi rotasi. Sehingga :
m1 = m1(0) = -(¬1 / 1)
m2 = m2(0) = -(¬2 / 2)
m1(1) = -(1/1) +
m1(1) = m1(0) +
dan seterusnya dilakukan pada titik 2 sampai hasil yang konvergen (hasil-hasil yang sama secara berurutan pada masing-masing titik kumpul) yang berarti pada masing-masing titik kumpul sudah terjadi putaran sudut.
Setelah pemberesan momen-momen parsiil mencapai konvergen, maka untuk mendapatkan momen akhir (design moment), hasil momen parsiil selanjutnya disubtitusikan dalam persamaan 2. 6 sebagai persamaan dasar. Sebagai contoh : pemberesan momen parsiil dicapai pada langkah ke-7 maka pada titik kumpul 1 adalah :
M12 = M12(7) = k12 (2m1(7) + m2(7)) +
M1A = M1A(7) = k1A (2m1(7) + ma(7)) +
M1C = M1C(7) = k1C (2m1(7) + m2(7)) +
M1D = M1E(7) = k1E (2m1(7) + ma(7)) +
Keseimbangan di titik kumpul 1 = 0 == M1 = 0
M12 + M1A + M1C + M1E = 0
Apabila M1 ≠ 0, maka momen-momen perlu dikoreksi.
Koreksi momen akhir :
M12 = M12 ± [( k12 / ( k12 + k1A + k1C + k1E )) x M]
Berikut ini diberikan beberapa contoh/kasus pada suatu konstruksi portal dengan titik kumpul yang tetap.
Contoh 1 : Hitung momen akhir dan reaksi perletakan dengan metode Takabeya
Penyelesaian:
A.Menghitung Momen-momen Parsiil.
1. Hitung Angka Kekakuan Batang (k)
K1A = I/H = 1/4 = 0,2500 m3
K12 = I/L = 1/6 = 0,1667 m3
K2B = I/H = 1/4 = 0,2500 m3
==Konstanta K diambil =1 m3
Jadi :
k1A = K1A/K = 0,2500, k12 = K12/K = 0,1667, k2B = K2B/K = 0,2500
2. Hitung Nilai p tiap titik hubung :
1 = 2 (k1A+ k12 ) = 2 ( 0,2500 + 0,1667) = 0,8333
2 = 2 ( k12 + k2B ) = 2 ( 0,1667 + 0,2500 ) = 0,8333
3. Hitung Nilai (Koefisien Rotasi) batang :
1A = k1A / 1 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3
12 = k12 / 1 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2
21 = k21 / 2 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2
2B = k2B / 2 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3
4. Hitung Momen Primer ( ) :
= - (1/12.q .L2 + /8 . P.L) = -(1/12.3.62+1/8.4.6) = -12 tm
= 12 tm
5. Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung () :
1 = + = -12 + 0 = -12 tm
2 = + = 12 + 0 = 12 tm
6. Hitung Momen rotasi Awal (m0)
m10 = - (1 / 1) = - (- 12 / 0,8333 ) = 14,40 tm
m20 = - (2 / 2) = - (12 / 0,8333) = -14,40 tm
B. Pemberesan Momen-momen Parsiil
Pemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik 1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara beraturan.
Langkah 1
m11 = m10 + (-12 . m20) = 14,40 + (-0,2 . 14,400) = 11,520
m21 = m20 + (-21 . m21) = -14,40 + (-0,2 . 11,520) = -16,704
Langkah 2
m12 = m10 + (-12 . m21) = 14,40 + (-0,2 . -16,704) = 17,741
m22 = m20 + (-21 . m12) = -14,40 +(- 0,2 . 17,741 ) = -17,948
Langkah 3
m13 = m10 + (-12 . m22) = 14,40 + (-0,2 . -17,948) = 17,990
m23 = m20 + (-21 . m13) = -14,40 + (-0,2 . 17,990) = -17,998
Langkah 4
m14 = m10 + (-12 . m23) = 14,40 + (-0,2 . - 17,998)= 18,000
m24 = m20 + (-21 . m14) = -14,40 + (-0,2 . - 17,998)= -18,000
Langkah 5
m15 = m10 + (-12 . m24) = 14,40 + (-0,2 . -18,000) = 18,000
m25 = m20 + (-21 . m15) = -14,40 + (- 0,2 . 18,000 )= - 18,000
C. Perhitungan Momen Akhir (design moment).
M12 = M12(5) = k12 (2m1(5) + m2(5)) +
= 0,16667 (2. 18,000 + -18,000) + (-12) = -9,000 tm
M1A = M1A(5) = k1A (2m1(5) + mA(5)) +
= 0,2500 (2. 18,000 + 0 ) + 0 = 9,000 tm
M21 = M21(5) = k21 (2m2(5) + m1(5)) +
= 0,16667 (2.-18,000 + 18,000) + (12) = 9,000 tm
M2B = M2B(5) = k2B (2m2(5) + mB(5)) +
= 0,2500 (2.-18,000 + 0 ) + 0 = -9,000 tm
MA1 = MA1(5) = kA1 (2mA(5) + m1(5)) +
= 0,2500 ( 2.0 + 18,000) + ( 0 ) = 4,5000 tm
MB2 = M B2(5) = kB2 (2mB(5) + m2(5) ) +
= 0,2500 ( 2.0 + -18,000) + (0) = -4,5000 tm
Catatan : Oleh karena pada suatu perletakan jepit tidak terjadi perputaran sudut, maka besarnya nilai mA = mB = 0.
Diagram Fase Body Momen Struktur.
Reaksi Perletakan :
M1 = 0 ( tinjau batang 1 A )
HA = HA1 = (MA1 + M1A) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah ==)
M2 = 0 ( tinjau batang 2 B )
HB =HB2 = (MB2 + M2B) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah == )
M2 = 0 ( tinjau batang 1 2 )
V12 . 6 - P . 3 – ½ q L2 + M21 – M12 = 0
V12 = (P . 3 + ½ q L2 - M21 – M12) / 6
V12 = (4 . 3 + ½ . 3 . 62 - 9,000 + 9,000 ) / 6 = 11,000 ton
VA = VA1 = V12 = 11,000 ton
M1 = 0 ( tinjau batang 1 2 )
-V21 . 6 + P . 3 + ½ q L2 + M21 – M12 = 0
V21 = ( P . 3 + l/2 q L2 + M21 – M12 ) / 6
V21 = ( 4 . 3 + ½ . 3 . 62 + 9,000 - 9,000 ) / 6 = 11,000 ton
VB = VB2 = V21 = 11,000 ton
Catatan : Arah momen pada diagram freebody di atas sudah merupakan arah yang sebenarnya, sehingga nilai momen yang digunakan dalam perhitungan sudah merupakan nilai positif (+).
Contoh 2 :
Suatu portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris, seperti gambar disamping, dengan masing-masing nilai / angka-angka kekakuan batang (k) langsung diberikan ( setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K )
k1A = k16 = k3C = k34 = 1
k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75
k2B = k25 = 1,5
Hitunglah momen-momen ujung batang dengan metoda takabeya.
Penyelesaian :
A. Menghitung momen-momen parsiil.
1. Angka kekakuan batang (diketahui)
2. Nilai tiap titik hubung
1 = 2 ( 1+0,75+ 1) = 5,5
2 = 2 (1,5 + 0,75 + 1,5 + 0,75) = 9
3 = 2 (l + 0,75 + l) = 5,5
4 = 2 (l+0,75) = 3,5
5 = 2 (1,5 + 0,75 + 0,75 ) = 6
6 = 2 (l+0,75) = 3,5
3. Nilai (koefisien rotasi) batang pada titik hubung
1A =1/5,5 = 0,1818 2B= 1,5/9 = 0,1667
3C = 1/5,5 = 0,1818
12 = 0,75/5,5 = 0,1364 21 = 0,75 / 9 = 0,0833
32 = 0,75/5,5 = 0,1364 23 = 0,75 / 9 = 0,0833
16 = 1/5,5 = 0,1818 61 = 1/3,5 = 0,2857
43 = 1/3,5 = 0,2857 34 = 1/5,5 = 0,1818
52 = 1,5 /6 = 0,2500 25 = 1,5 / 9 = 0,1667
45 = 0,75/3,5 = 0,2143 54 = 0,75 /6 = 0,1250
65 = 0,75/3,5 = 0,2143 56 = 0,75 /6 = 0,1250
4. Momen primer batang ( )
= -l/12 .6 .52 = -12,5 tm = -l/12 . 6.52 = -12,5 tm
= 12,5 tm = 12,5 tm
= -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm = -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm
= 6,25 tm = 6,25 tm
5. Jumlah momen primer tiap titik hubung ()
1 = 0 + (-12,5) + 0 = -12,5 4 = 0 +6,25 = 6,25
2 = 0 + 12,5 + (-12,5) + 0 = 0 5 = 0 +(-6,25) +6,25 = 0
3 = 0 + 12,5 + 0 = 12,5
6. Momen rotasi awal (m
m10 = -(-12,5/5,5) = 2,2727 m40 = -(6,25/3,5) = -1,7857
m20 = - (0 / 9 ) = 0 m50 = - ( 0 / 5,5) = 0
m30 = -(12,5/5,5) = -2,2727 m60 = -(-6,25/3,5) =1,7857
B. Pemberesan Momen Parsiil.
Pemberesan momen parsiil dimulai secara berurutan mulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4), (5), (6) dan kembali ke titik (1), (2), (3), (4), (5) dan seterusnya.
m11 = + m10 = 2,2727
= + (-¬12) (m20) (-0,1364) ( 0 ) = 0
= + (-¬16) (m60) (-0,1818) ( 1,7857 ) = -0,3246
m11 = 1,9481
m21 = + m20 = 0
= + (-¬21) (m11) (-0,0833) ( 1,9481 ) = -0,1623
= + (-¬23) (m30) (-0,0833) ( -2,2727 ) = 0,1893
= + (-¬25) (m50) (-0,1667) ( 0 ) = 0
m21 = 0,027
m31 = + m30 = -2,2727
= + (-¬32) (m21) (-0,1364) ( 0,027 ) = -0,0037
= + (-¬34) (m40) (-0,1818) ( -1,7857 ) = 0,3246
m31 = -1,9517
m41 = + m40 = -1,7857
= + (-¬43) (m31) (-0,2857) ( -1,9517 ) = 0,5576
= + (-¬45) (m50) (-0,2143) ( 0 ) = 0
m41 = -1,2281
m51 = + m50 = 0
= + (-¬54) (m41) (-0,1250) ( -1,2281 ) = 0,1535
= + (-¬52) (m21) (-0,2500) ( 0,0270 ) = -0,0068
= + (-¬56) (m60) (-0,1250) ( 1,7857 ) = -0,2232
m51 = -0,0765
m61 = + m60 = 1,7857
= + (-¬65) (m51) (-0,2143) ( -0,0765 ) = 0,0164
= + (-¬61) (m11) (-0,2857) ( 1,9481 ) = -0,5566
m61 = 1,2455
Untuk selanjutnya berikut ini diperlihatkan perhitungan secara skematis:
m60 = 1.7857 m50 = 0.0000 m40 = -1.7857
m61 = 1.2455 m51 = -0.0765 m41 = -1.2281
m62 = 1.2041 m52 = -0.0090 m42 = -1.1836
m63 = 1.1994 m53 = -0.0013 m43 = -1.1959
m64 = 1.1988 m54 = -0.0003 m44 = -1.1982
m65 = 1.1987 m55 = -0.0001 m45 = -1.1986
m66 = 1.1987 m56 = 0.0000 m46 = -1.1986
m67 = 1.1986 m57 = 0.0000 m47 = -1.1986
m68 = 1.1986 m58 = 0.0000 m48 = -1.1986
m10 = 2.2727 m20 = 0.0000 m30 = -2.2727
m11 = 1.9481 m21 = 0.0270 m31 = -1.9517
m12 = 2.0426 m22 = 0.0052 m32 = -2.0501
m13 = 2.0531 m23 = 0.0013 m33 = -2.0577
m14 = 2.0545 m24 = 0.0005 m34 = -2.0554
m15 = 2.0547 m25 = 0.0001 m35 = -2.0549
m16 = 2.0548 m26 = 0.0000 m36 = -2.0548
m17 = 2.0548 m27 = 0.0000 m37 = -2.0548
m18 = 2.0548 m28 = 0.0000 m38 = -2.0548
C. Perhitungan Momen Akhir (design moment).
Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 8 , dengan nilai-nilai sebagai berikut:
m18 = 2,0548 m28 = 0,0000 m38 = -2,0548
m48 = -1,1986 m58 = 0,0000 m68 = 1,1986
Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut:
Titik. 1
M1A = k1A (2m1(8) + mA(8)) + = 1 (2 . 2,0548 + 0 ) + 0 = 4,1096 tm
M12 = k12 (2m1(8) + m2(8)) + = 0,75 (2 . 2,0548 + 0 ) + (-12,50) = -9,4178 tm
M16 = k16 (2m1(8) + m6(8)) + = 1 (2 . 2,0548 + 1,1986 ) + 0 = 5,3082 tm
M = 0 tm
Titik. 2
M2B = k2B (2m2(8) + mB(8)) + = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm
M21 = k21 (2m2(8) + m1(8)) + = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + 12,50 = 14,0411 tm
M23 = k23 (2m2(8) + m3(8)) + = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + (-12,50) =-14,0411 tm
M25 = k25 (2m2(8) + m5(8)) + = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm
M = 0 tm
Titik. 3
M3C = k3C (2m3(8) + mC(8)) + = 1 (2 .(-2,0548) + 0)) + 0 = -4,1096 tm
M32 = k32 (2m3(8) + m2(8)) + = 0,75 (2 .(-2,0548) + 0) + 12,50 = 9,4178 tm
M34 = k34 (2m3(8) + m4(8)) + = 1 (2 .(-2,0548) + (-1,1986)) + 0 =-5,3082 tm
M = 0 tm
Titik. 4
M43 = k43 (2m4(8) + m3(8)) + = 1 (2 .(-1,1986) + (-2,0548)) + 0 = -4,4520 tm
M45 = k45 (2m4(8) + m5(8)) + = 0,75 (2 .(-1,1986) + 0) + 6,25 = 4,4520 tm
M = 0 tm
Titik. 5
M52 = k52 (2m5(8) + m2(8)) + = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm
M54 = k54 (2m5(8) + m4(8)) + = 0,75 (2 .0 + (-1,1986)) + (-6,250) = -7,1490 tm
M56 = k56 (2m5(8) + m6(8)) + = 0,75 (2 .0 + 1,1986) + 6,250 = 7,1490 tm
M = 0 tm
Titik. 6
M61 = k61 (2m6(8) + m1(8)) + = 1 (2 . 1,1986 + 2,0548) + 0 = 4,4520 tm
M65 = k65 (2m6(8) + m5(8)) + = 0,75 (2 . 1,1986 + 0) + (-6,25) = -4,4520 tm
M = 0 tm
Titik. A
MA1 = kA1 (2mA(8) + m1(8)) + = 1 (2 . 0 + 2,0548 ) + 0 = 2,0548 tm
Titik. B
MB2 = kB2 (2mB(8) + m2(8)) + = 1,5 (2 . 0 + 0 ) + 0 = 0 tm
Titik. C
MC3 = kC3 (2mC(8) + m3(8)) + = 1 (2 . 0 + (-2,0548)) + 0 = -2,0548 tm
Gambar diagram freebody moment
Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya
Analisa sumbu simetri dari suatu struktur dan pembebanan yang simetris.
Suatu struktur dengan pembebanan yang simetris dapat dianalisa sebagian dari struktur tersebut berdasarkan sumbu simetrinya. Untuk analisa seperti ini, tergantung apakah sumbu simetri dari struktur tersebut tepat berada pada tumpuan / kolom tengah (bentangan genap) atau sumbu simetri berada pada bentangan tengah (bentangan ganjil).
Untuk struktur dengan bentang genap, persamaan-persamaan yang ada pada halaman depan dapat digunakan sedangkan untuk struktur dengan bentangan ganjil, persamaan yang ada tersebut, haruslah dikoreksi terutama pada hal-hal yang berhubungan dengan bentangan tengah tersebut.
Berikut ini diperlihatkan satu contoh struktur dengan bentangan ganjil, angka- angka kekakuan batang langsung pada masing-masing batang pada gambar di bawah ini. Untuk dapat memahami analisa seperti ini, coba perhatikan langkah-langkah penyelesaian yang akan diuraikan sebagai berikut :
Contoh. 3 :
A. Menghitung Momen Parsiil.
1. Angka Kekakuan (k) = diketahui (lihat gambar)
2. Hitung Nilai tiap titik hubung.
1 = 2 (k1A + k12) = 2 (1 + 1,5) = 5
2 = 2(k21+k2B+k23) = 2(1,5 +1+1,5) = 8 p’2 = 2 – k23¬ = 6,5
3. Hitung Nilai (Koefisien rotasi) batang.
1A = k1A/1 = 1/5 = 0,200
12 = kl2/1 = 1,5/5 = 0,300
’21 = k21/’2 = 1,5/6,5 = 0,231
’2B = k2B/’2 = 1/6,5 = 0,154
’23 = k23/’2 = 1,5/6,5 = 0,231
4. Hitung Momen Primer ( )
= -1/12 . q . L2 = -1/12 . 3 . 42 = -4 tm = 4 tm
= -1/8 P. L = -1/8 . 4 . 3 = -1,5 tm =1,5 tm
5. Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung ( )
1 = + = -4 + 0 = -4 tm
2 = + + = 4 + 0+ (-1,5) = 2,5 tm
6. Hitung Momen rotasi Awal ( m0)
m10 = -(1 / 1) = - (-4 / 5) = 0,8000 tm
m20 = -(2 / ’2) = - (2,5 / 6,50) = -0,3846 tm
B. Pemberesan Momen-momen Parsiil
Pemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik 1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara berurutan.
Langkah 1
m11 = m10 + (-12 . m20) = 0,800 + (-0,3 .(-0,3846)) = 0,91538
m21 = m20 + (-21 . m11) =-0,3846 + (-0,231 .0,91538) = -0,59605
Langkah 2
m12 = m10 + (-12 . m21) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,59605)) = 0,97882
m22 = m20 + (-’21 . m12) =-0,3846 + (-0,231 . 0,97882) = -0,61071
Langkah 3
m13 = m10 + (-12 . m22) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) = 0,98321
m23 = m20 + (-’21 . m13) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98321) = -0,61172
Langkah 4
m14 = m10 + (-12 . m23) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) = 0,98321
m24 = m20 + (-’21 . m14) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98351) = -0,61179
Langkah 5
m15 = m10 + (-12 . m24) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61179)) = 0,98354
m25 = m20 + (-’21 . m15) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) = -0,61180
Langkah 6
m16 = m10 + (-12 . m25) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) = 0,98354
m26 = m20 + (-’21 . m16) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) = -0,61180
Langkah 7
m17 = m10 + (-12 . m26) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) = 0,98354
m27 = m20 + (-’21 . m17) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354) = -0,61180
C. Perhitungan Momen Akhir (design moment)
Titik. 1
M1A = k1A (2m1(7) + mA(7) + = 1 (2 . 0,98354 + 0) + 0 = 1,96708tm
M12 = k12(2m1(7)+ m2(7)+ =1,5(2 .0,98354+(-0,61180)+(-4) = -1,96708 tm
M = 0 tm
Titik. 2
M21 = k21(2m2(7) + m1(7) + = 1,5 (2 .(0,6118)+ 098354) + 4 = 3,63991 tm
M2B = k2B (2m2(7) + mB(7) + = 1 (2 . (-0,6118) + 0) + 0 = -1,22360 tm
M23 = k23 (m2(7) + = 1,5 (-0,6118) + (-1,5) = -2,41770 tm
M = -0,00139 tm
Pada titik 2 perlu koreksi momen sebagai berikut:
M21 = 3,63991 – (1,5 / 4) . (-0,00139) = 3,64043
M2B =-1,22360 – (1 / 4) . (-0,00139) = -1,22325 M = 0 tm
M23 =-2,41770 – (1,5 / 4) . (-0,00139) = -2,41718
MA1 = kA1 (2mA(7) + m1(7) + = 1 (2 . 0 + 0,98354) + 0 = 0,98354tm
MB2 = kB2 (2mB(7) + m2(7) + = 1 (2 . 0 + (-0,61180)) + 0 = -0,61180 tm
Catatan:
Harga-harga momen akhir ( design moment ) pada bagian kanan sumbu simetri hasilnya sama simetris dengan sebelah kiri sumbu simetri ( sama besar tetapi mempunyai arah yang berlawanan).
Perhatikan diagram free body pada halaman berikut ini:
Gambar diagram freebody moment
Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya
4.3 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG BERGERAK
Yang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang bergerak adalah portal dimana pada masing-masing titik hubungnya terjadi perputaran sudut dan pergeseran (pergoyangan). Umumnya suatu konstruksi portal bertingkat mempunyai pergoyangan dalam arah horizontal saja. Beban-beban horizontal yang bekerja pada konstruksi, dianggap bekerja pada regel-regel (pertemuan balok dengan kolom tepi) yang ada pada konstruksi tersebut. Untuk menganalisa konstruksi portal dengan titik hubung yang bergerak, persamaan-persamaan 4.1 sampai dengan persamaan 4.4 pada halaman depan tetap digunakan. Disamping persamaan-persamaan tersebut, persamaan-persamaan yang berhubungan dengan pengaruh pergoyangan berikut ini juga akan sangat membantu dalam penyelesaian dari struktur portal bergoyang tersebut.
Momen Displacement ( ).
Besarnya nilai dipengaruhi oleh jumlah tingkat yang ada pada struktur portal. Coba perhatikan portal (gambar 4.4), dengan freebody tingkat atas dan bawah pada gambar 4.4a dan 4.4b berikut ini :
Gambar 4.4
Dari freebody pada gbr 4.4a dan 4.4b, diperoleh persamaan sebagai berikut :
Freebody 4-5-6 H=0 W1 = H4+ H5+ H6 ----- Pers. 4.11
Freebody 1-6 M6 = 0 + h1 . H6 = 0 ----- Pers. 4.12
Freebody 2-5 M5 = 0 + h1 . H5 = 0 ----- Pers. 4.13
Freebody 3-4 M4 = 0 + h1 . H4 = 0 ----- Pers. 4.14
Dari persamaan 4.11 s/d 4.14, diperoleh :
+ + + h1 . (W1) = 0 ----- Pers. 4.15
Bila dimasukkan harga-harga pada persamaan 4.4, maka :
M61 = k16 (2m6 + m1 + )
M16 = k16 (2m1 + m6 + )
= 3 k16 { m1 + m6 } + 2 k16. -------- Persamaan 4.16a
= 3 k25 { m2 + m5 } + 2 k25. -------- Persamaan 4.16b
= 3 k34 { m3 + m4 } + 2 k34. -------- Persamaan 4.16c
Catatan : = m16 = m25 = m34
Dari persamaan 2.16a, 2.16b, 2.16c, maka persamaan 2.15 dapat dituliskan menjadi:
2 = -h1 (W1) + ---- Pers. 2.17
Jika : = t16
2 = TI dan = t25 ------- Pers. 4.18
= t34
Maka Persamaan 4.17 dapat dituliskan menjadi:
= - ------- Persamaan 4.19
Persamaan 4. 19 disebut persamaan momen displacement pada tingkat atas.
Langkah perhitungan untuk momen displacement dilakukan pertama-tama dengan anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi perputaran sudut (m4 = m5 = m6 = 0) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 4.19 ) menjadi :
= - -------- Persamaan 4.20
Dengan cara yang sama ( lihat gambar 2.4c ), maka persamaan momen displacement untuk tingkat bawah akan diperoleh :
2 = -h2 (W1 +W2)+ ----- Pers. 4.21
Jika :
= t1A
2 = TII dan = t2B -------- Pers. 4.22
= t3C
Maka Persamaan 4.17 dapat dituliskan menjadi:
= - ------ Persamaan 4.23
Persamaan 4. 23 tersebut di atas disebut persamaan momen displacement pada tingkat bawah. Langkah perhitungan untuk momen displacement ini dilakukan pertama-tama dengan anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi perputaran sudut (m¬1= m2 = m3 = 0) dan pada titik A, B, C dengan mA, mB dan mC sama dengan 0 ( nol ) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 4.23 ) menjadi:
= - -------- Persamaan 4.24
Berikut ini diperlihatkan contoh penerapan persamaan-persamaan dari takabeya serta analisa / penyelesaian contoh soal yang ada.
Contoh. 4 :
Suatu portal dengan struktur dan pembebanan seperti gambar di samping, dengan masing-masing nilai / angka-angka kekakuan batang (k) langsung diberikan (setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K )
k1A= k16 = k30 = k34 = 1
k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75
k2B = k25 = 1,5
Hitunglah momen-momen ujung batang dengan metoda takabeya.
Penyelesaian:
A. Menghitung momen-momen parsiil.
1. Angka kekakuan batang (diketahui pada gambar struktur)
2. Nilai , , M primer, dan momen rotasi awal (m0)
perhitungan dapat anda lihat pada contoh. 2 sebelumnya :
1 = 5,5 3 = 5,5 5 = 6
2 = 9 4 = 3,5 6 = 3,5
1A = 0,1818 2B = 0,1667 23 = 0,0833 3C = 0,1818
12 = 0,1364 21 = 0,0833 25 = 0,1667 32 = 0,1364
16 = 0,1818 34 = 0,1818
= -12,5 tm = -12,5 tm = -6,25 tm = -6,25 tm
= 12,5 tm = 12,5 tm = 6,25 tm = 6,25 tm
¬1 = -12,5 ¬3 = 12,5 ¬5 = 0
¬2 = 0 ¬4 = 6,25 ¬6 = -6,25
m10 = 2,2727 m30 = -2,2727 m50 = 0
m20 = 0 m40 = -1,7857 m60 = 1,7857
B. Momen Displacement.
Tingkat atas TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7
t16 = 3 k16 / TI = 3.1/7 = 0,4286
t25 = 3 k25 / TI = 3.1,5/7 = 0,6429
t34 = 3 k34 / TI = 3.1/7 = 0,4286
= -(W1 . h1) / TI = -(1,2 . 4) / 7 = -0,6857
Tingkat atas TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7
t1A = 3 k1A / TII = 3.1/7 = 0,4286
t2B = 3 k2B / TII = 3.1,5/7 = 0,6429
t3C = 3 k3C / TII = 3.1/7 = 0,4286
= -{h2 (W1 + W2)} / TII = -{4 (1,2 + 2)} / 7 = -1,8286
C. Pemberesan momen parsiil, Momen displacement
Perbesaran momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4), (5), (6)dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1.
m11 = + m10 = 2,27270
= + (-1A) ( ) (-0,1818) (-1,8286) = 0,33244
= + (-12) ( ) (-0,1364) (0) = 0
= + (-16) ( + ) (-0,1818) {1,7857 +(-0,6857)} = -0,19998
m11 = 2,40516
m21 = + m20 = 0
= + (-21) ( ) (-0,0833) (2,40516) = -0,20035
= + (-2B) ( ) (-0,1667) (-1,8286) = 0,30482
= + (-23) ( (-0,0833) (-2,2727) = 0,18932
= + (-25) ( + ) (-0,1667) {0 +(-0,6857)} = -0,11431
m21 = 0,40810
m31 = + m30 = 2,27270
= + (-32) ( ) (-0,1364) (0,40810) = -0,05566
= + (-3C) ( ) (-0,1818) (-1,8286) = 0,33244
= + (-34) ( + ) (-0,1818) {(-1,7857) +(-0,6857)} = 0,44930
m31 = -1,54662
m41 = + m40 = -1,78570
= + (-43) ( + ) (-0,2857) {(-1,54662) +(-0,6857)} = 0,63777
= + (-45) ( ) (-0,2143) (0) = 0
m41 = -1,14792
m51 = + m50 = 0
= + (-54) ( ) (-0,1250) (-1,14792) = -0,14349
= + (-52) ( + ) (-0,2500) {(0,40810) + (-0,6857)} = 0,06940
= + (-56) ( ) (-0,1250) (1,7857) = -0,22321
m51 = -0,01032
m61 = + m60 = 1,78570
= + (-65) ( ) (-0,2143) (-0,01032) = 0,00221
= + (-61) ( + ) (-0,2857) {(2,40516) + (-0,6857)} = -0,49125
m61 = 1,29666
Untuk pemberesan momen displacement langkah 1, sebaiknya digunakan nilai-nilai dari hasil pemberesan momen parsiil langkah 1. Seperti yang dilakukan sebagai berikut :
Tingkat atas : Langkah. 1
= + = -0,68570
+(-t¬16) ( + ) = (-0,4286)(2,40516 +1,29666) = -1,58660
+(-t25) ( + ) = (-0,6429)(0,40810 - 0,01032) = -0,25573
+(-t34) ( + ) = (-0,4286) -1,54662 - 1,14792) = 1,15488
= -1,37315
Tingkat bawah : Langkah 1
= + = -0,82860
+ (-t¬1A) ( ) = (-0,4286) (2,40516) = -1,03085
+ (-t2B) ( ) = (-0,6429) (0,40810) = -0,26237
+ (-t3C) ( ) = (-0,4286) (-1,54662) = 0,66288
= -2,45894
Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-l selesai, maka dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3, 4, 5 dan titik 6 kemudian pemberesan momen displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 . Demikian seterusnya sampai dicapai hasil yang konvergen, seperti yang diperlihatkan pada skema perhitungan pada halaman berikut ini.
Catatan :
Sebenarnya, pemberesan rotasi momen parsiil dan rotasi momen displacemen tingkat, tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul konvergen, akan tetapi apabila sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi momen sudah dapat dihentikan. Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan momen pada suatu titik kumpul, kita akan lakukan koreksi momen dan mendistribusikannya ke batang-batang bersangkutan.
Perhitungan secara skematis dilakukan sesuai dengan rumusan yang telah dijelaskan/ diuraikan sebelumnya, seperti berikut ini:
= -0.68570 m60 = 1.78570 m50 = 0.00000 m40 =-1.78570
= -1.37315 m61 = 1.29666 m51 =-0.01032 m41 =-1.14792
= -1.84463 m62 = 1.37711 m52 = 0.16704 m42 = -0.97924
= -2.09335 m63 = 1.46663 m53 = 0.24751 m43 = -0.90842
= -2.21999 m64 = 1.51782 m54 = 0.28398 m44 = -0.86901
= -2.28394 m65 = 1.54446 m55 = 0.30162 m45 = -0.84774
= -2.31610 m66 = 1.55802 m56 = 0.31036 m46 = -0.83674
= -2.33225 m67 = 1.56488 m57 = 0.31472 m47 = -0.83115
= -2.34034 m68 = 1.56832 m58 = 0.31689 m48 = -0.82834
= -2.34439 m69 = 1.57005 m59 = 0.31799 m49 = -0.82692
= -2.34642 m610 = 1.57092 m510 = 0.31853 m410 = -0.82621
= -2.34744 m611 = 1.57136 m511 = 0.31880 m411 = -0.82586
= -2.34795 m612 = 1.57157 m512 = 0.31894 m412 = -0.82568
= -2.34821 m613 = 1.57168 m513 = 0.31901 m413 = -0.82559
= -2.34833 m614 = 1.57174 m514 = 0.31904 m414 = -0.82555
= -2.34840 m615 = 1.57176 m515 = 0.31906 m415 = -0.82553
= -2.34843 m616 = 1.57178 m516 = 0.31907 m416 = -0.82551
= -2.34845 m617 = 1.57179 m517 = 0.31907 m417 = -0.82551
= -2.34845 m618 = 1.57179 m518 = 0.31908 m418 = -0.82551
= -2.34846 m619 = 1.57179 m519 = 0.31908 m419 = -0.82550
= -2.34846 m620 = 1.57179 m520 = 0.31908 m420 = -0.82550
= -1.82860 m10 = 2.27270 m20 = 0.00000 m30 = -2.27270
= -2.45894 m11 = 2.40516 m21 = 0.40810 m31 = -1.54662
= -2.70961 m12 = 2.67797 m22 = 0.54629 m32 = -1.44185
= -2.83788 m13 = 2.77579 m23 = 0.62023 m33 = -1.35131
= -2.90224 m14 = 2.81797 m24 = 0.65860 m34 = -1.30089
= -2.93432 m15 = 2.83815 m25 = 0.67848 m35 = -1.27604
= -2.95033 m16 = 2.84805 m26 = 0.68865 m36 = -1.26383
= -2.95834 m17 = 2.85296 m27 = 0.69380 m37 = -1.25778
= -2.96235 m18 = 2.85540 m28 = 0.69640 m38 = -1.25476
= -2.96435 m19 = 2.85662 m29 = 0.67770 m39 = -1.25325
= -2.96536 m110 = 2.85723 m210 = 0.69835 m310 = -1.25249
= -2.96586 m111 = 2.85753 m211 = 0.69867 m311 = -1.25211
= -2.96611 m112 = 2.85769 m212 = 0.69884 m312 = -1.25192
= -2.96624 m113 = 2.85776 m213 = 0.69892 m313 = -1.25183
= -2.96630 m114 = 2.85780 m214 = 0.69896 m314 = -1.25178
= -2.99634 m115 = 2.85782 m215 = 0.69898 m315 = -1.25176
= -2.96635 m116 = 2.85783 m216 = 0.69899 m316 = -1.25174
= -2.96636 m117 = 2.85784 m217 = 0.69900 m317 = -1.25174
= -2.96636 m118 = 2.85784 m218 = 0.69900 m318 = -1.25173
= -2.96637 m119 = 2.85784 m219 = 0.69900 m319 = -1.25173
= -2.96637 m120 = 2.85784 m220 = 0.69900 m320 = -1.25173
D. Perhitungan Momen Akhir (design moment).
Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 20, dengan nilai-nilai sebagai berikut:
m120 = 2,85784 m220 = 0,69900 m320 = -1,25173 = -2,34846
m420 = -0,82550 m520 = 0,31908 m620 = 1,57179 = -2,96637
Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 2. 4 pada halaman depan)
Titik. 1
M1A = k1A (2m1(20) + ) +
= 1 {(2 . 2,85784 + (-2,96637)} + 0 = 2,74931 tm
M12 = k12 (2m1(20) + m2(20)) +
= 0,75 (2 . 2,85784 +0,699) + (12,50) = -7,68899 tm
M16 = k16 (2m1(20) + m6(20)) + +
= 1 {(2 .+ 2,85784 + 1,57179+(-2,348646)}0 = 4,93901 tm
M = 0,00067 tm
Titik. 2
M21 = k21 (2m2(20) + ) +
= 0,75 {2 . 0,699+2,85784}+ 12,50 = 15,69188 tm
M2B = k2B (2m2(20) + ) +
= 1,5 {2 . 0,699+(-2,96637)} + 0 = -2,35256 tm
M23 = k23 (2m2(20) + m3(20)) +
= 0,75 {2 . 0,699+(-1,25173)}+(-12,50) = -12,39030 tm
M25 = k25 (2m2(20) + m5(20)) + )+
= 1,5 {2 . 0,699+0,31908+(-2,34846)}+0 = -0,94707 tm
M = 0,00195 tm
Titik. 3
M3C = k3C (2m3(20) + ) +
= 1 {2(-1,25173)+(- 2,96637)} + 0 = -5,46983 tm
M32 = k32 (2m3(20)+m2(20) +
= 0,75 {2 (-1,25173)+0,699} + 12,50 = 11,14666 tm
M34 = k34 (2m3(20) + m4(20) + )+
= 1{2(-1,25173)+(-0,82550)+(-2,34846)}+0 = -5,67742 tm
M = -0,00059 tm
Titik. 4
M43 = k43 (2m4(20) + m3(20) + )+
= 1 {2(-0,8255)+(- 1,25173) +(-2,34846)}+0 = -5,25119 tm
M45 = k45 (2m4(20)+m5(20) +
= 0,75 {2 (-0,8255)+0,31908} + 6,25 = 5,25106 tm
M = -0,00013 tm
Titik. 5
M52 = k52(2m5(20) + m2(20) + )+
= 1,5{2.0,31908+0,699+(-2,34846)}+ 0 = -1,51695 tm
M54 = k54 (2m5(20)+m4(20) +
= 0,75 {2 .0,31908)+(-0,8255)}+(-6,25) = -6,39051 tm
M56 = k56 (2m5(20)+m6(20) +
= 0,75 {2 .0,31908)+1,57179) + 6,25 = 7,90746 tm
M = 0,00000 tm
Titik. 6
M61 = k61(2m6(20) + m1(20) + )+
= 1{2.1,57179+2,85784+(-2,34846)}+ 0 = 3,65296 tm
M65 = k65 (2m6(20)+m5(20) +
= 0,75 {2 .1,57179 +0,31908)+(-6,25) = -3,65300 tm
M = -0,00004 tm
Dengan M yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen-momen ujung tersebut di atas tidak perlu dikoreksi ======= M 0
Titik. A
MA1 = kA1 (2mA(20) + m1(20) + + = 1{2.0 + 2,85784+(-2,96637)}+0 = -0,10853 tm
Titik. B
MB2 = kB2 (2mB(20) + m2(20) + + = 1,5 (2.0 + 0,699 +(-2,96637)}+0 = -3,40106 tm
Titik. C
MC3 = kC3 (2mC(20) +m3(20) + + =1{2.0 +(-1,25173)+(-2,96637)}+0 = -4,21810 tm
Gambar diagram freebody moment
Kontrol H = 0
-1/h2 - (W1 + W2) = 0
-1/4 - (1,2 + 2) = 0
-0,25 { 2,64078 + (-5,75362 + (-9,68793)} - (3,2) = 0
0,00019 0 Ok
Konstruksi dengan sokongan sendi.
Untuk konstruksi dengan sokongan sendi pada salah satu titik perletakannya, maka batang-batang yang berkumpul atau bertemu pada salah satu titik kumpul yang berhubungan dengan perletakan sendi tersebut, maka nilai p digunakan adalah ’ dimana :
’ = - 1/2 k batang yang ujungnya sendi.
Dan batang yang ujungnya sendi = ½ k batang yang ujungnya sendi / ’
Disamping itu, untuk batang yang ujungnya berupa sendi, dimana ada momen primer, maka pada perletakan sendi tersebut dianggap sebagai perletakan jepit dan momen-momen primernya disebut
Sebagai contoh:
Sehingga = -1/12 . q . L2 = 1/12 . q . L2
= - ½
dan yang digunakan adalah ’, dimana ’1 = + + +
sehingga Momen rotasi awal m(0) = -’1/’1
dan design moment adalah M1A = k1A (3/2 m1(X)) + untuk balok 1A dan sendi di titik A serta M1A= k1A(3/2m1(X)+½ + ) + utk kolom1A sendi di titik A. jika diperlukan koreksi momen akibat adanya M, maka
M1A=M1A(X)-(3/4 k1A / ½ ’1)M dititik 1 ¾ : faktor sendi.
Sebagai contoh analisa, pada halaman berikut ini diberikan suatu contoh struktur portal dengan sokongan sendi dengan penyelesaiannya.
Contoh. 5
diketahui :
W1 = W2 = 1,2 t
kA1 = k14 = kB2 = k23 = 1
k12 = k34 = 0,75
h1 = h2 = 4 m
L = 5 m
Penyelesaian:
A. Menghitung momen-momen parsiil.
1. Angka kekakuan batang ( diketahui )
2. Nilai , , M primer, dan momen rotasi awal (m0)
1 = 2(k1A + k12 + k14) = 5,5
2 = 2(k21+k2B+k23) = 5,5 ’2 = 2 – ½ k2B = 5,5 – ½ .1 = 5
3 = 2(k23 + k34) = 3,5
4 = 2(k43 + k41) = 3,5
1A = k1A/1 = 1/5,5 = 0,1818 ’2B= ½ k2B/’2= ½.1/5=0,1
12 = k12/1 = 0,75/5,5 = 0,1364 ’21=k21/’2= 0,75/5 = 0,15
14 = k14/1 = 1/5,5 = 0,1818 ’23= k23/’2 = 1/5 = 0,2
32 = k32/3 = 1/3,5 = 0,2857 43=k43/4 0,751/3,5=0,2143
12 = k12/1 = 0,75/5,5 = 0,1364 41= k41/4 = 1/3,5 = 0,2857
= -1/12 q L2 = -1/12 . 6 . 52 = -12,5 tm = 12,5 tm
= -1/12 q L2 = -1/12 . 3 . 52 = -6,25 tm = 6,25 tm
1 = + + = -12,5 tm 2 = + + = 12,5 tm
3 = + = 6,25 tm 4 = + = -6,25 tm
m10 = - (1/1) = -(-12,5 / 5,5) = 2,2727
m20 = - (2/’2) = -(12,5 / 5) = -2,5000
m30 = - (3/3) = -(6,25 / 3,5) = -1,7857
m40 = - (4/4) = -(-6,25 / 3,5) = 1,7857
B. Momen Displacement.
Tingkat atas TI ¬ = 2 (k¬14¬ + k23) = 2 (1+1) = 4
t14 = 3 k14 / TI = 3 . 1/4 = 0,75 = -(W1.h1) / TI
t23 = 3 k23 / TI = 3 . 1/4 = 0,75 = -(1,2 . 4) / 4 = -1,2
Tingkat bawah TII = 2 (k1A + k2B) = 2 (1 + 1) = 4
T’II = TII – 3/2 . k2B = 4 – 3/2 . 1 = 2,5
t'1A = 3 k1A / T’II = 3.1 / 2,5 = 1,2 = -{h2 (W1+W2)} / T’II
t'2B = 3/2 k2B / T’II = 3/2 . 1 / 2,5 = 0,6 = -{4 (1,2 + 1,2)} / 2,5 = -3,84
C. Pemberesan momen parsiil Momen displacement
Pemberesan momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4) dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1. Berikut ini pemberesan momen parsiil langkah 1.
m11 = + m10 = 2,2727
= + (-1A) (mII0) (-0,1818) (-3,84) = 0,6981
= + (-12) (m20) (-0,1364) (-2,5) = 0,3410
= + (-14) (m40 +mI0) (-0,1818) {1,7857 + (-1,2)} = -0,1065
m11 = 3,2053
m21 = + m20 = -2,5000
= + (-’21) (m11) (-0,15) (3,2053) = -0,4808
= + (-’2B) (mII0) (-0,10) (-3,84) = 0,3840
= + (-’23) (m30 +mI0) (-0,20) (-1,7857 + (-1,2)) = 0,5971
m21 = -1,9997
m31 = + m30 = -1,7857
= + (-32) (m21 + mI0) (-0,2857) (-1,9997 + (-1,2)) = 0,9142
= + (-34) (m40) (-0,2143) (1,7857) = -0,3827
m31 = -1,2542
m31 = + m40 = 1,7857
= + (-43) (m31) (-0,2143) (-1,2542) = 0,2688
= + (-41) (m11) + (mI0) (-0,2857) (3,2053 + (-1,2)) = -0,5729
m41 = 1,4816
Setelah pemberesan momen parsiil langkah 1 selesai, selanjutnya pemberesan momen displacement langkah 1 dilaksanakan. Sebaiknya digunakan nilai-nilai dari hasil pemberesan momen parsiil pada langkah 1.
Untuk tingkat atas: Langkah. 1
= + = -1,2
+ (-t¬14) (m11 + m41) (-0,75) (3,2053 + 1,4816) = -3,5151
+ (-t23) (m21 + m31) (-0,75) (-1,9997 + (-1,2542)) = 2,4404
mI1 = -2,2747
Untuk tingkat bawah: Langkah. 1
= + = -3,84
+ (-t¬1A) (m11) (-1,2) (3,2053) = -3,8464
+ (-t2B) (m21) (-0,6) (-1,9997) = 1,1998
mI1 = -6,4866
Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-1 selesai, maka dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3 dan 4 kemudian pemberesan momen displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 . Demikian seterusnya sampai dicapai hasil yang konvergen, seperti yang diperlihatkan pada skema perhitungan pada halaman berikut ini.
Catatan:
Sebenarnya, rotasi momen parsiil dan rotasi momen displacemen tingkat tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul konvergen, akan tetapi apabila sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi momen sudah dapat dihentikan. Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan momen pada suatu titik kumpul, kita akan lakukan koreksi momen dan mendistribusikannya ke batang-batang bersangkutan sebanding dengan kekakuannya.
= -1.2000 m40 = 1.7857 m30 = -1.7857
= -2.2747 m41 = 1.4816 m31 = -1.2542
= -3.2391 m42 = 1.5360 m32 = -0.9602
= -3.8709 m43 = 1.6798 m33 = -0.7491
= -4.2381 m44 = 1.7921 m34 = -0.6306
= -4.4417 m45 = 1.8619 m35 = -0.5678
= -4.5522 m46 = 1.9017 m36 = -0.5346
= -4.6116 m47 = 1.9237 m37 = -0.5170
= -4.6434 m48 = 1.9356 m38 = -0.5077
= -4.6603 m49 = 1.9420 m39 = -0.5028
= -4.6692 m410 = 1.9454 m310 = -0.5002
= -4.6740 m411 = 1.9472 m311 = -0.4988
= -4.6765 m412 = 1.9482 m312 = -0.4981
= -4.6779 m413 = 1.9487 m313 = -0.4977
= -4.6786 m414 = 1.9490 m314 = -0.4975
= -4.6790 m415 = 1.9491 m315 = -0.4973
= -4.6792 m416 = 1.9492 m316 = -0.4973
= -4.6793 m417 = 1.9492 m317 = -0.4973
= -4.6793 m418 = 1.9493 m318 = -0.4972
= -4.6794 m419 = 1.9493 m319 = -0.4972
= -4.6794 m420 = 1.9493 m320 = -0.4972
= -4.6794 m421 = 1.9493 m321 = -0.4972
= -3.8400 m10 = 2.2727 m20 = -2.5000
= -6.4866 m11 = 3.2053 m21 = -1.9997
= -7.4472 m12 = 3.8689 m22 = -1.7259
= -7.9213 m13 = 4.1716 m23 = -1.5412
= -8.1664 m14 = 4.3213 m24 = -1.4321
= -8.2953 m15 = 4.3973 m25 = -1.3692
= -8.3634 m16 = 4.4366 m26 = -1.3341
= -8.3995 m17 = 4.4570 m27 = -1.3148
= -8.4186 m18 = 4.4677 m28 = -1.3045
= -8.4287 m19 = 4.4734 m29 = -1.2989
= -8.4341 m110 = 4.4764 m210 = -1.2960
= -8.4369 m111 = 4.4780 m211 = -1.2944
= -8.4384 m112 = 4.4788 m212 = -1.2936
= -8.4392 m113 = 4.4793 m213 = -1.2931
= -8.4397 m114 = 4.4795 m214 = -1.2929
= -8.4399 m115 = 4.4796 m215 = -1.2928
= -8.4400 m116 = 4.4797 m216 = -1.2927
= -8.4401 m117 = 4.4797 m217 = -1.2927
= -8.4401 m118 = 4.4797 m218 = -1.2926
= -8.4401 m119 = 4.4798 m219 = -1.2926
= -8.4401 m120 = 4.4798 m220 = -1.2926
= -8.4401 m121 = 4.4798 m221 = -1.2926
D. Perhitungan Momen Akhir (design moment).
Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 20 , dengan nilai-nilai sebagai berikut:
m120 = 4,4798 m220 = -1,2926 mI20 = -4,6794
m320 = -0,4972 m420 = 1,9493 mII20 = -8,4401
Untuk perhitungan besarnya momen momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 4. 4 pada halaman depan )
Titik. 1
M1A= k1A (2m1(20)) + = 1{2.4,4798+(-8,4401)} = 0,5195 tm
M12 = k12 (2m1(20)) + ) +
= 0,75 {2. 4,4798+(-l,2926)}+(-12,50) = -6,7498 tm
M14 = k14 (2m1(20)) + ) +
= 1{2. 4,4798+l,9493+(-4,6794)} = 6,2295 tm
M = -0,0008 tm
Titik. 2
M2B= k2B (3/2m2(20)) + ½ = 1 {3/2(-1,2926) + (1/2.-8,4401)}
= -6,1590 tm
M21= k21 (2m2(20)) + ) +
= 0,75 {2.(-1,2926) + 4,4798} + 12,50 = -6,7498 tm
M23 = k23 (2m2(20)) + ) +
= 1{2.(-1,2926) +(-0,4972)+(-4,6794)} = -7,7618 tm
M = 0,0002 tm
Titik. 3
M32 = k3 (2m3(20)) + m2(20) +
= 1 (2.-0,4972 + -1,2926 + -4,6794 = -6,9664 tm
M3 4= k3 (2m2(20)) + ) +
= 0,75 {2.-0,4972 + 1,9493) + 6,25 = 6,9662 tm
M = -0,0002 tm
Titik. 4
M41 = k41 (2m4(20)) + m1(20) +
= 1 (2.1,9493 + 4,4798 + -4,6794 = 3,6990 tm
M43 = k43 (2m4(20)) + ) +
= 0,75 {2. 1,9493 + -0,4972) + -6,25 = -3,6990 tm
M = 0,0000 tm
Dengan AM yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen momen ujung tersebut di atas tidak perlu dikoreksi =======M 0
Titik A
MA1 = kA1 (m¬1¬(20)+ ) = 1{4,4798+(-8,4401)}= -3,9604 tm
MB2 = 0 ( perletakan sendi)
Kontrol H = 0
-1/h2 - (-W1 + W2) = 0
-1/4 - (1,2 + 1,2) = 0
-0,25{(-3,4409+(-6,1590}- (2,4) = 0 0,00019 0 Ok
Gambar diagram freebody
4.4 RANGKUMAN
Dari pembahasan rumusan - rumusan dasar berikut contoh - contoh soal dan penyelesaiannya, baik untuk konstruksi portal dengan titik hubung yang tetap maupun konstruksi portal dengan titik hubung yang bergerak (pergoyangan), dapat diambil suatu kesimpulan mengenai langkah-langkah perhitungan penyelesaian suatu portal sebagai berikut:
4.4.1 Portal dengan titik hubung yang tetap
Langkah-langkah perhitungan / penyelesaian
A. Menentukan Momen Parsiil.
1. Menghitung angka kekakuan batang (k).
2. Menghitung nilai p masing - masing titik hubung.
3. Menghitung nilai koefisien untuk rotasi momen parsiil () masing - masing batang.
4. Menghitung momen-momen primer ( ) masing - masing batang.
5. Menghitung jumlah momen primer () pada masing - masing titik hubung.
6. Menghitung momen rotasi awal (m0) pada masing - masing titik hubung.
B. Pemberesan Momen Parsiil.
Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen.
C. Menghitung Momen Akhir (Design Moment).
4. 4. 2 Portal dengan titik hubung yang bergerak (pergoyangan)
Langkah-langkah perhitungan / penyelesaian
A. Menentukan Momen parsiil.
1. Menghitung angka kekakuan batang (k).
2. Menghitung nilai p masing - masing titik hubung.
3. Menghitung nilai koefisien untuk rotasi momen parsiil ( ) masing - masing batang.
4. Menghitung momen-momen primer ( ) masing - masing batang.
5. Menghitung jumlah momen primer () pada masing - masing titik hubung.
6. Menghitung momen rotasi awal (m0) pada masing - masing titik hubung.
B. Menghitung Momen Displacement ( ..).
1. Menghitung kekakuan tingkat (T...).
2. Menghitung koefisien rotasi tingkat (t...) pada masing - masing kolom.
3. Menghitung Momen Displacement awal tingkat ( ...0).
C. Pemberesan Momen Parsiil dan Momen Displacement.
Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen. Pemberesan momen displacement dilakukan setiap selesai satu langkah pemberesan momen parsiil.
D. Menghitung Momen Akhir (Design Moment).
E. Kontrol gaya - gaya horizontal ======H = 0
2.5 SOAL-SOAL LATIHAN
Soal-soal berikut ini (lihat gambar), dapat anda kerjakan di rumah sebagai latihan. Besarnya nilai dari ukuran yang ada, beban terpusat P dan W maupun beban terbagi rata q dapat ditentukan sendiri.
DAFTAR PUSTAKA
Chu-Kia Wang, Ph.D, Mekanika Teknik “Statically Indeterminate Structure” Terjemahan
_________________, Analisa Struktur Lanjutan, Jilid 1, Jakarta, Erlangga, 1992.
¬Heinz Frick, Ir, Mekanika Teknik 2 (Statika dan Kegunaannya), Jilid II, Yogyakarta, Kanisius, 1979.
Soetomo. HM, Ir, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid I. Jakarta, Soetomo HM, 1981
_______, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid II. Jakarta, Soetomo HM, 1981
V. Sunggono. KH, Ir, Buku Teknik Sipil. Bandung, Nova, 1984.
No comments:
Post a Comment